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第 5 节 不完全信息博弈 在囚徒困境里是让大家同归于尽还是尽可能救下别人(第1页)

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2003年的时候,在一个叫「音速论坛(sonicbbs)中推理天下版块,一位叫「加菲鼠」的网友提了一个问题:

五个囚犯先后从100颗绿豆中抓绿豆。抓得最多和最少的人将被处死,不能交流,可以摸出剩下绿豆的数量,谁的存活几率最大?

这道题还有几个需要知道的点:

1、他们都是很聪明的人;

2、他们的原则是先求保命,再去多杀人;

3、100颗不必都分完,但要保证每人至少抓一颗;

4、若有重复的情况,则也算最大和最小,一并处死

通过解答这道题,希望能帮助大家通过数学得到一些关于人生的感悟。

这个问题的解答,取决于我们如何从数学的角度理解题干。

首先,我们来看题干,题目给出的条件是这样的:

1、他们都是很聪明的人;

2、他们的原则是先求保命,再去多杀人;

3、100颗不必都分完,但要保证每人至少抓一颗;

4、若有重复的情况,则也算最大和最小,一并处死。

这里面最重要的就是第2条:他们都是很聪明的人,他们的原则是先求保命,再去多杀人;

对此我的理解是:

a)因为每个人都不能指望别人犯错,因此抓豆的策略是:在剩下的人采取最佳方案的时候,自己的存活概最大;

b)如果有多种方案使得自己的存活概率最大且相同,则采取杀死人最多的方案;

而在这个解读下,这个问题或许会走向一个可怕的结局。

下面,我尽量不用数学语言,而是用通俗的语言来分析这个问题。

首先要说明的是,题目要求每个人都至少抓一颗绿豆,所以第一个人抓完绿豆后,至少要留4颗绿豆给剩下的4个人;同理,第二个人要留至少3颗绿豆给后面的人;第三个人要留2颗;第4个人要留1颗。

我们先不管第1个人咋样,其实第2个人到第5个人的策略是显而易见的。

情况讨论:

下面我分两种情况讨论:

1.如果第1个人取的绿豆数超过了20颗(也就是总和的15)。

那么,对于第2个人来说,他的最佳策略是:

l比第1个人取的绿豆数少至少1颗,且在这个范围内尽可能多取;

l至少剩下3颗绿豆给后面3个人。

这是因为,第1个人已经取了超过均值数的绿豆数,后面一定有人取不到20颗。第2个人比均值少取1颗,就可以保证自己不是最多或者最少的,自己必然存活。而在自己存活的情况下,尽可能让后面的人少取绿豆,让后面的人「卷」起来,所以在规则允许的情况下,比第一个人少1颗是最好的。

当然,如果第1个人取了至少50颗绿豆,那第2个人的策略就是取到剩下3颗即可,这样就能让剩下的3个人都只能取1颗,除了第2个人自己,其他人都面临必死的结局啦。

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